Drietallen (wsk en natk)
(ludieke onvolledige opsomming)
In de eindige tijd waarin u en ik leven zijn drie ruimtelijke dimensies: x-,y- en z-as. (lengte, breedte en hoogte)
1. Er zijn positieve getallen, negatieve en nul. Zo ook voor temperaturen. In het atoommodel van Bohr bestaat een atoom uit drie deeltjes: protonen (+), neutronen (0) en electronen (-).
2. Er zijn drie positiebenamingen voor een getal: a. coëfficiënt bijv. 3x; b. los getal bijv. 5; c. exponent bijv. x2
3. Voor het produkt van twee getallen zijn drie minteken situaties: -.+=-, +.-=- en -.-=+. Voor een negatieve breuk zijn er voor het minteken drie mogelijke posities: voor de breukstreep, voor de teller of voor de noemer.
4. Materie bestaat in de toestanden: vast, vloeibaar en gasvormig. Er bestaan drie soorten radioactiviteit: a-, b- en g-straling.
5. De repeterende driehoek van Pascal, de bekende Franse wiskundige en christenfilosoof, met binomiaalcoëfficiënten spreekt voor zich.
6. Er zijn drie (basis)situaties tussen twee getallen: a>b, a=b en a<b.
7. Er zijn drie vormen van lineaire (basis)vergelijkingen: ax+b=c, ax+b=cx en ax+b=cx+d.
8. Er zijn drie basisfunkties met x: a. f(x)=x, b. g(x)=1/x en c. h(x)=|x|.
9. De algemene uitdrukking y=ax2+bx+c geeft voor a. a=0 een rechte lijn, b. a>0 een dalparabool en c. a<0 een bergparabool.
10. Er zijn drie basisvormen van kwadratische vergelijkingen: ax2=0; ax2+bx=0; ax2+bx+c=0
11. Er zijn drie kwadratische funkties met drie parameters en (basis)grafieken: y=ax2+bx+c; y=a(x-b)2+c en y=a(x-b)(x-c).
12. De universele a,b,c-formule voor tweedegraads vergelijkingen in de wiskunde gaat uit van drie variabelen.
13. Drie mogelijke waarden voor de discriminant D van tweedegraadsvergelijkingen zijn: D>0: twee nulpunten; D<0: geen nulpunten; D=0: één nulpunt.
14. Er zijn drie soorten asymptoten: horizontale, vertikale en scheve.
15. Er zijn drie elementaire vergelijkingen met exponent: ax=b; xa=b en ab=x en drie met logarithme: xloga=b; alogx=b en alogb=x
16. De exponentiële funktie f(x)=ax a. stijgt als a>1, b. daalt als 0<a<1 en c. loopt horizontaal als a=1
17. Een lijn in een platvlak deelt dat in drie delen, een vlak in de ruimte deelt dat ook in drieën.
18. Het scherp of vaag zichtbaar zijn van een voorwerp wordt bepaald door een driedelig verband: de zgn lenzen formule met 1/f=1/b+1/v. Is het toevallig dat dit verband van omgekeerde waarden ook geldt voor de vervangingsweerstand van twee parallelle weerstanden R1 en R2: 1/Rv=1/R1+1/R2?
19. De electriciteitsleer berust o.a. op de eenvoudige wet van Ohm: U=I.R, een simpel driedelig verband.
20. Er bestaat een eenvoudig driedelig verband tussen de druk, temperatuur en volume van een gas: (p.V)/T=constant.
21. Voor de afgelegde weg, hoek en baansnelheid van een eenparige cirkelbeweging (bijv. bij hemellichamen) gelden telkens driedelige verbanden: s=φ.r; φ=ω.t en v=ω.r. Ook voor de centripetale versnelling zijn er twee van zulke formules.
22. Wit licht is opgebouwd uit drie basiskleuren: Rood, Groen en Blauw.
23. In de Differentiaalrekening zijn de drie belangrijkste regels: de produkt-, de quotiënt- en de kettingregel.
24. De drie belangrijkste kenmerken van een rechte lijn in een plat vlak: y=ax+b: de r.c.=a, het ypunt: (0,b) en het nulpunt: (-b/a,0).
25. In de Goniometrie zijn de drie meest voorkomende verhoudingen: sin(us), cos(inus) en tan(gens), die elk weer een driedelig verband opleveren.
26. De grootheden die de vorm en plaats van de sin- en cosgrafiek bepalen zijn: amplitude, periode, beginpunt én evenwichtsstand.
27. Voor logarithmen gelden onafhankelijk van het grondtal drie eenvoudige verbanden: 1. log(a.b)=loga+logb; 2. log(a/b)=loga-logb en 3. n.loga=logan.
28. Evenzo voor exponenten: 1. an.am=an+m; 2. an:am=an-m en 3. (an)m=anm met 1. (a.b)n=an.bn, 2. (a/b)n = an/bn en 3. 1/an= a-n.
29. De twee keer drie belangrijkste haakjesconstructies: 1. a(b+c)=ab+ac; 2. a(-b+c)=-ab+ac en 3. a(-b-c)=-ab-ac met
1. -a(b+c)=-ab-ac; 2. -a(-b+c)=ab-ac en 3. -a(-b-c)=ab+ac.
30. Er zijn drie merkwaardige produkten: 1. (a+b)2=a2+2ab+b2; 2. (a-b)2=a2-2ab+b2 en 3. (a+b)(a-b)=a2-b2.
31. f(x)=2x 1. is stijgend, 2. gaat door (0,1) en 3. heeft een H.A. y=0
32. f(x)=log(x) 1. is stijgend, 2. gaat door (1,0) en 3. heeft een V.A. x=0
33. Voor domeinbepaling gelden drie eisen: breuk: N≠0, log(x): x>0 en evenmachtswortel(x): x≥0.
34. Bij Kansrekening zijn de drie belangrijkste regels: de som-, de produkt-, en complementregel en werkt men met permutaties, variaties en combinaties.
35. Een kubus met zijde/ribbe a heeft Inhoud=a3 , Oppervlakte=6a2 , Zijvlaksdiagonaal=aÖ2 en Lichaamsdiagonaal=aÖ3.
36. De Oppervlakte van een cirkel met straal r: πr2 en bijbehorende Omtrek: 2πr.
37. De Oppervlakte van een driehoek luidt: (1/2) basis*hoogte, de Inhoud van een pyramide of kegel: (1/3) grondvlak*hoogte: beide driedelige verbanden.
38. In de Statistiek zijn drie centrummaten: modus, mediaan en gemiddelde.
39. Twee rechte lijnen in een plat vlak kunnen elkaar snijden (bijv loodrecht), evenwijdig zijn of samenvallen.
40. In een driehoek zijn drie bijzondere lijnen: a. hoogtelijn of loodlijn, b. zwaartelijn, c. deellijn of bissectrice. De middelloodlijn is een combinatie van a en b.
41. Bij lineair programmeren wordt de oplossing in drie stappen bereikt: 1. Beperkende voorwaarden vertalen in ongelijkheden, 2. tekenen van doelgebied en berekenen hoekpunten en 3. Bepalen van max. of min. van doelfunktie door invullen coördinaten van de hoekpunten in die funktie.
42. Voor het complement en supplement x van een hoek a gelden resp.: x+a=90° en x+a=180°
43. Er zijn drie manieren om vectoren te vermenigvuldigen: a. met een constante bijv. 3ā, b. inwendig produkt bijv. (ā.ē) en c. uitwendig produkt bijv. (āxē).
44. Er zijn drie elementaire spiegelingen: a. in de x-as, b. in de y-as en c. in de oorsprong O(0,0).
45. Er zijn drie elementaire meetkundige transformaties: a. translaties, b. vermenigvuldigingen en c. rotaties. Spiegelingen zijn een bijzonder geval van vermenigvuldigingen, n.l. met de faktor -1.
46. Er zijn drie spreidingsmaten: a. spreidingsbreedte, b. kwartielafstand en c. standaarddeviatie.
47. Het x-y-assenstelsel is op drie manieren te gebruiken: a. dubbel lineair, b. enkel logarithmisch en c. dubbel logarithmisch.
Extra 48. Water bestaat uit drie atomen: twee waterstofatomen en één zuurstofatoom. Is dat toevallig?
Conclusie: blijkbaar speelt het getal drie een belangrijke rol in exacte vakken. Overal kom je trilogieën tegen.
De eerste ontdekking deed Pythagoras met zijn bekende stelling:a2+b2=c2 voor de drie zijden in een rechthoekige driehoek. Newton werd wereldberoemd met F=m.a voor kracht als oorzaak van versnelling en Einstein staat bekend om: E=mc2 voor equivalentie van energie en atomaire massa. Steeds driedelige verbanden in pure eenvoud. En er zijn er nog heel wat meer.
Opmerking: Einstein zocht aan het einde van zijn leven één en dezelfde formule voor beschrijving van de vier krachten: zwaarte-, electrische, magnetische en kernkracht. Dat is hem tot zijn spijt niet gelukt c.q. gegeven. Misschien een leuke uitdaging voor u?
Spelletje
Het altoosdurende exacte spelletje van al vele eeuwen is: het iedere keer, evt seriëel/parallel herhaald, in de tekst of figuur van een opgave opsporen van twee variabelen en daarna berekenen van de derde met het betreffende driedelige verband. Telkens hetzelfde principe toepassen, de betreffende trilogieën toepassen en beseffen: er is zelden een vierde element of variabele bij betrokken. Wie dit spelletje doorziet, scoort automatisch, als vanzelf en spelenderwijs goede resultaten.